在中学课本里，我们学到了一个将十进制数转换为任意进制的算法：将十进制数除以新的进制，然后将商作为下一次除法的被除数，直到商为 0，然后将每次除法的余数从右到左写，就得到了新的进制。这篇小文章用数学公式来说明这个神奇算法中的数学道理。

首先，我们不妨假设十进制正数为 $N$，新的进制为 $R (R \geq 2)$ 进制。我们设第 $i$ 次除法的商和余数分别记作 $q_i$ 和 $y_i$。根据算法，我们可以得到下面的递推公式：$$q_{i-1} \div R = q_{i} \cdots \cdots y_i (1 \leq i \leq k)$$其中，我们约定$q_0 = N$，$q_k = 0$，$q_{k-1} \neq 0$根据余数的意义，我们将上述公式变为$$q_{i} \times R + y_i = q_{i-1} \tag{*}$$我们的出发点是要证明$$N = \sum_{i=1}^{k} y_i \times R^{i-1}$$因此，我们很容易联想到将$(*)$式左右同时乘上$R^{i-1}$，得到$$q_{i} \times R^i + y_i \times R^{i-1} = q_{i-1} \times R^{i-1}$$当我们把公式累加起来之后，等式左右两边许多的项都相互抵消了，所以可以得到一个简单的公式：$$q_{k} \times R^k + \sum_{i=1}^{k} y_i \times R^{i-1} = q_{0} \times R^{0}$$根据约定，我们最终得到$$\sum_{i=1}^{k} y_i \times R^{i-1} = N \times R^{0} = N$$其中等式左边便等于用余数从右到左排列得到的$R$进制数，而它又等于十进制数$N$，这就是进制转换的算法的数学道理。